Combinaciones

Esta es una de una serie de entradas que voy a escribir con la finalidad de tener “a mano” una serie de explicaciones sobre matemáticas en póquer, especialmente en Hold'em.

Nota: Esta entrada fue publicada originalmente en mi blog, pero es más útil en poquer-red. Voy a seguir escribiendo algunos artículos en mi blog y reproduciéndolos en esta web.

Combinaciones.

Algunos curiosos se habrán preguntado más de una vez “¿Cuántas combinaciones diferentes de dos cartas diferentes existen en la baraja?”. ¿Cuántas combinaciones de manos iniciales habrá en Omaha?. ¿Cuántos flops diferentes existen? ¿cuántas combinaciones de 5 cartas en la mesa existen?.

Para hacer estos y muchos otros cálculos nos podemos valer de la rama de las matemáticas llamada Combinatoria. Así, esta rama se encarga del estudio de colecciones finitas de objetos y en particular del conteo de subconjutos que cumplan especificaciones dadas dentro del universo de objetos previamente definidos.

La ecuación que nos interesa en este momento es la del coeficiente binomial:

Esta ecuación quiere decir que “se escoge un subconjunto de k elementos de un conjunto de n elementos”. Para los que usen Excel pueden usar la función “=combinat(n,k)” donde n y k son la cantidad de objetos del conjunto y el subconjunto respectivamente.

En adelante se va a utilizar la nomenclatura arriba expuesta, C(n,k) siempre que se vaya a calcular una combinatoria.

Combinaciones de manos iniciales.

En el caso de Holdem, la cantidad de manos iniciales sería C(52,2) (52 es el conjunto de cartas de la baraja y 2 son las cartas iniciales que tomamos de ese conjunto) que es 1326 manos iniciales diferentes.
Para Omaha, la cantidad de manos iniciales viene a ser C(52,4) ó 270725.

Con el número de 1326 diferentes manos iniciales en Holdem, podemos encontrar de donde salen muchos de esos números que vienen en las tablas de los libros.

Por ejemplo. Para saber, el porcentaje de veces que nos reparten un par de ases de mano, contamos la cantidad de diferentes pares de ases que puede haber y lo dividimos entre 1326.

Así, tenemos:

O sea, 6 pares de ases diferentes.

Calculando 6/1326 = 1/221. Esto es, nos repartes un par de ases cada 221 manos iniciales. Esto expresado en odds es 1:220.

Para calcular, la probabilidad que nos repartan un par cualquiera, contamos cuantos pares de mano existen. Ya vimos que existen 6 pares de ases diferentes, para los demás rangos pasa lo mismo, existe 6 pares para cada rango. Como tenemos 13 rangos diferentes, tenemos 78 combinaciones de manos iniciales que son un par. Dividiendo 78/1326 = 1/17. Expresado en odds 1:16.

Es importante anotar, que una vez que nosotros sabemos nuestras dos manos iniciales, la cantidad de manos iniciales de nuestros rivales se reduce. Como conocemos 2 de las 52 cartas, 50 son desconocidas para nosotros y nuestro rival puede tener una de las otras C(50,2)=1225 combinaciones posibles. Esto será muy útil más adelante cuando vayamos a deducir el rango de nuestro rival.

Cantidad de flops y manos en el flop.

Una vez tenemos nuestras cartas iniciales, existen 50 cartas desconocidas para nosotros. El flop consta de 3 cartas, por lo que podemos hacer el cálculo de combinatoria explicado más arriba parpa calcular la cantidad de flops diferentes que existe. C(50,3). Así pues, dadas nuestras dos cartas iniciales existe 19600 flops distintos.

Saber esto nos ayuda mucho para calcular probabilidades de obtener ciertas manos en el flop. Así, por ejemplo, tenemos un par en mano. ¿Cuándo vamos a flopear set o mejor?. Primero contamos cuántos flops tiene al menos una carta de nuestro rango y finalmente los dividimos entre 19600.

Comámonos por partes este elefante. Digamos que las cartas del flop salen una a una. En la primera carta va a salir una de las dos cartas de nuestro rango y las otras dos son diferentes a nuestro rango. Solo hay dos formas posibles de que salga nuestro set en la primera carta qué es lo mismo que C(2,1)=2. De las restantes 48 cartas, no nos importa que salga, tenemos que tomar dos, o sea C(48,2)=1128. Tomar en cuenta que en muchos de estos flops no solo nos dan set sino también full.

Flops que nos dan set = C(2,1)*C(48,2) = 2*1128 = 2256

Algunos flosp también nos dan quads. Esto sería C(2,2) para tomar nuestras dos cartas del rango y C(48,1) una de las otras cartas.

Flops que nos dan quads = C(2,2)*C(48,1) = 48.

Entonces cuando tenemos par en mano, la cantidad de flops que nos dan set, full o quads es:

Flops para set, full o quads = 2256 + 48 = 2304.

Dividiendo por el número de flops diferentes:

2304/19600 = 0.1176

Que es lo mismo que 11.76% ó 1:7.5 expesado en odds. Número con el que debemos estar familiarizado.

En un próximo artículo voy a escribir sobre rangos de manos iniciales.