ICM: el valor económico de los stacks en los torneos

Supongo que casi todos los lectores están familiarizados con el ICM, las siglas de Indepedent Chip Model.

En un torneo, la relación entre las fichas de un stack y su valor real no es lineal, sino que depende de la estructura de premios y los stacks de los otros jugadores. Si tenemos un stack de 2.000 puntos, es posible que un stack de 4.000 sólo valga 1,7 veces el primero. Igualmente, si estamos en la burbuja y un jugador cae eliminado, nuestro stack aumenta de valor sin haber ganado una sola ficha.

¿Pero cómo medir eso? El método más aceptado y conocido es el ICM. Una calculadora de ICM, dados los stacks y la estructura de premios, calcula el valor de tu stack, midiendo la probabilidad que tienes, según el tamaño de tu stack, de quedar en cada una de las posiciones de cobro.

Por lo que había leído, creía que las calculadoras ICM usaban unas matemáticas muy complicadas para llegar a sus resultados; en realidad, para nada es cierto. Lo único que hay que hacer es sumar y multiplicar, lo que pasa es que el número de cálculos se vuelve absurdamente alto para más de dos jugadores y/o posiciones de cobro. El algoritmo para calcular el peso de los stacks es el siguiente.

• Se calcula la probabilidad del bigstack de salir ganador. Esta es igual a su número de fichas dividido entre el total. Se multiplica el valor resultante por la ganancia del primer puesto.

• Una vez asumido que el bigstack es el ganador (y por tanto, sin tener en cuenta sus fichas) se calcula la probabilidad para cada stack de llegar a cada una de las posiciones de cobro. (P.E. si hay 10.000 fichas en el torneo y el bigstack tenía 5.000, la probabilidad de un stack de 1.000 fichas de quedar segundo será de 1/5, no de 1/10).

• Se multiplica esa probabilidad por el valor de cada posición y por la probabilidad de que el bigstack gane la primera posición.

• Se repite lo mismo, pero asumiendo que es el segundo stack el que queda primero, de tal modo que se calcula la probabilidad para los otros stacks de llegar a cada una de las posiciones de cobro –a parte ese mismo stack de llegar a la primera-, y se multiplica por el cobro de la posición y la probabilidad de que el stack que hemos asumido ganador realmente gane.

Una vez que hemos hecho los cálculos para cada stack, basta con sumar todos los valores resultantes, y esto será la fracción del premio total que corresponde a cada stack. Como sé que está muy mal explicado, vamos a ver un ejemplo práctico.

• Jugador 1 (a): 3.000 puntos
• Jugador 2 (b): 1.000 puntos
• Jugador 3 (c): 1.000 puntos

Estuctura de pagos: el ganador se lleva el 80% del prize pool y el segundo el 20% restante.

Entonces, asumimos que el jugador 1 gana, lo cual sucede 3.000/5.000, el 60% de las veces.

P(a1º)= 0,6

Como el ganador cobra el 80% del premio, tenemos:

$EV a1º = 0,8*0,6= 0,48

Siendo a ganador, la probabilidad del jugador 2 de salir segundo es el tamaño de su stack dividido por el total de fichas del torneo obviando las del stack ganador, por la probabilidad de que el bigstack efectivamente sea ganador.

P(b2º)|(a1º)= 1.000/2.000 * 0,6= 0,5*0,6= 0,3

$EV (b2º)|(a1º)= 0,3 * 0,2= 0,06

El valor de c es igual que el de b, dado que tienen las mismas fichas:

$EV (c2º)|(a1º) = 0,06

Aquí hemos visto el valor de a por ganar y los valores de b y c cuando agana el torneo. Ahora falta analizar el caso en que es b quien gana el torneo, y luego c, y, tras sumar todos los valores, habremos terminado:

La probabilidad de b de ganar es 1/5= 0,2. Y el premio por ganar es 0,8, por tanto:

$EV b1º = 0,2*0,8= 0,16

Asumiendo que b gana, a tiene ¾ de posibilidades de salir segundo, dado que tiene 3.000 fichas y c tiene 1.000. El valor de quedar segundo es 0,2; como quiera que b sólo gana el torneo el 20% de las veces, el valor final para a en este caso es 0,2*0,2*0,75.

$EV (a2º)|(b1º)= 0,2*0,2*0,75= 0,03

El stack c sólo tiene ¼ de quedar segundo cuando a gana; en definitiva:

$EV (c2º)|(b1º)= 0,01.

Ahora, asumiendo que c es quien gana, los valores para a serán los mismos (dado que c tiene las mismas fichas que b), y los valores para b serán los mismos que para c en el caso anterior. Es decir:

• $EV c1º=0,16
• $EV (a2º)|(c1º)= 0,03
• $EV (b2º)|(c1º)= 0,01

Ahora sumando todos los valores de a, tenemos el $EV real de ese stack: 0,48+0,03+0,03= 0,54. (es decir, el 54% de los premios totales)

En el caso de b, es= 0,16+0,06+0,01= 0,23.

El stack c también vale 0,23.

Si meteís ese ‘torneo’ en una calculadora ICM, vereís que los stacks pequeños realmente valen el 24% de los premios; la diferencia se debe a los redondeos. Por cierto que, no sé si queda lo suficientemente claro, pero un torneo en el que queden cuatro jugadores, con tres posiciones de cobro, requeriría muchísimos más cálculos, dado que asumiendo, p.e., que a es el ganador, habría que calcular la probabilidad de b, c y d de quedar segundo y también tercero.



Como se ve, el ICM no realiza cálculos especialmente complejos: sencillamente son muchos. Por eso, intentar entender y reproducir estos cálculos in game es completamente inútil; es mejor opción introducir muchas situaciones típicas en una calculadora ICM y familiarizarnos con los resultados.

Disclaimer: toda similitud entre los símbolos que uso y la notación que de verdad usaría un matemático es pura suerte :-D